COMPRENDAMOS

Llevo 38 años dando clases de Matemáticas y en ellos he impartido todos los niveles desde la antigua EGB (Educación General Básica) hasta las actuales ESO (Educación Secundaria Obligatoria) y Bachillerato.
En todo este tiempo, una de las mayores dificultades con las que me he encontrado ha sido la de explicar (y justificar adecuadamente), las reglas de los signos de las operaciones con números enteros.

Realmente, si nos paramos a pensar, estas reglas no son ni mucho menos, evidentes y su justificación no siempre resulta fácil.

En lo que respecta a las reglas de signos para la suma, no hay excesivo problema en su justificación si consideramos "lo negativo" como "malo o perjudicial desde mi punto de vista" y "lo positivo" como "beneficioso para mi". Yo pongo a mis
alumnos ejemplos basados en la economía elemental que ellos pueden manejar en su vida cotidiana, así les digo:

Si un número negativo supone que debo dinero y otro positivo que me lo deben a mi, tenemos las siguientes posibles situaciones:

-Si a mi me debe una persona 3 euros y otra 7 euros, desde mi punto de vista, como me deben 10 puedo decir:

(+3)+(+7)=+10

-Si una persona me debe 6€ y yo debo a otra 7, el resultado final será que aún deberé 1€, esto es:

(+6)+(-7)=-1

-Si ahora soy yo el que debe 8€ y a mi me deben 11€, saldré ganando con 3€, es decir:

(-8)+(+11)=+3

-Finalmente, si debo 6€ a alguien y 9€ a otro, debo en total 15:

(-6)+(-9)=-15

Hasta aquí, más o menos, todo está claro y puedo concluir sin temor a equivocarme, que:

a) SI SUMO DOS ENTEROS DEL MISMO SIGNO, SUMARÉ LOS VALORES ABSOLUTOS Y PONDRÉ EL MISMO SIGNO QUE TIENEN LOS SUMANDOS.

b) SI SUMO DOS ENTEROS DE DISTINTO SIGNO, RESTARÉ LOS VALORES ABSOLUTOS Y PONDRÉ EL SIGNO DEL QUE TENGA MAYOR VALOR ABSOLUTO.

Entremos ahora en el caso de la multiplicación y veremos que aparece alguna dificultad inesperada que no siempre es fácil soslayar.

Si interpretamos la multiplicación como una suma de sumandos iguales y entendemos que el multiplicando es el que se repite y el multiplicador nos indica el número de veces que se repite, tenemos los siguientes casos más o menos claros:

-(+3)*(+6), puedo entender que equivale a:

(+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3)+(+3)=(+6)+(+6)+(+6)=(+12)+(+6)=+18

donde hemos aplicado la regla de los signos para la suma y la asociatividad de la
misma.

-(-3)*(+6), podría ser:

(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-6)+(-6)+(-6)=(-12)+(-6)=-18

Con las mismas consideraciones anteriores.

-(+3)*(-6), ya las consideraciones anteriores no me sirven ya que ¿cómo puedo repetir (+3) un número negativo de veces? ¿Qué significa esto?.
Bueno siempre podría recurrir a la conmutatividad del producto y reducir este caso al anterior (aunque tal vez sería "hacer un
poco de trampa").

-(-3)*(-6), aquí ya si que no me queda ni siquiera el recurso anterior. ¿Como el producto de dos "cosas" menores que "nada" (el cero), puede dar "algo" positivo?

Si interpretamos "lo negativo" como la negación de lo positivo, en lógica podemos decir que dos negaciones seguidas
equivalen a una afirmación, esto es, si "p" es una proposición verdadera, no no p también es verdadera pues no p es
falsa. Por ejemplo:

"No, no llueve" equivale a decir "Si que llueve".

Esto no me vale como justificación de este cuarto caso. Veamos si buscamos otra. Si entendemos el primer factor como el tiempo "hacia adelante" si es positivo y "hacia atrás" si es negativo, y el segundo como velocidad (positiva hacia delante y
negativa hacia atrás), podemos entender que:

(-3)*(-6) equivale a la distancia recorrida desde hace tres horas andando hacia atrás, ahora estamos 18 km más adelante. Tampoco esto es muy convincente.

Recurramos al álgebra, con lo que ganaremos en abstracción lo que perderemos en practicidad, en efecto:

(+1)+(-1)=0

Si multiplicamos ambos miembros por (-1), tenemos:

(+1)*(-1)+(-1)*(-1)=0

Operando el primer término:

(-1)+(-1)*(-1)=0

Sumando (+1) a ambos miembros:

(+1)+(-1)+(-1)*(-1)=+1

0+(-1)*(-1)=+1

Es decir:

(-1)*(-1)=+1

Basándonos en esto hagamos la multiplicación anterior teniendo en cuenta que -3=(-1)*3 y -6=(-1)*6, tenemos:

(-3)*(-6)=(-1)*3*(-1)*6=(-1)*(-1)*3*6=(+1)*3*6=3*6=18

O sea: "MENOS POR MENOS ES MÁS"

Todo esto no se le puede decir a un alumno de la ESO salvo que queramos afectar a su salud mental, "afortunadamente" hay alumnos que ni se plantean esto (creen la regla porque la dice su profesor), y hay otros que simplemente "pasan" del tema.

Manuel Nando Roig.

Profesor de Matemáticas.

Licenciado en Ciencias Físicas, Diplomado en Magisterio (especialidad ciencias)