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Consejo Nacional para el Entendimiento Público de la Ciencia.

Supra/razón de los números granizo


Mario Peral Manzo + Universidad Pedagógica Nacional, Unidad 152

Abstract Research

We present the implementation of a simple screening on the progression of positive odd integers to successively apply the formula 3n+1 Collatz algorithm to construct sequences that start at any given positive integer and conclude in the last entire unit as an expression and then, if it continues to implement the algorithm, such succession becomes a regular succession. By applying our screening we reached a supra / reason "that allows us to determine a limit to the formula 3n+1.


La Conjetura de Collatz. El algoritmo propuesto por Collatz básicamente ordena: ?si se hace presente un número impar, tríplicalo y al producto súmale la

unidad; si se te presenta un número par divídelo por dos; continúa este procedimiento hasta que se exprese la unidad?. Collatz formuló esta hipótesis en

1937 a la que también se le conoce con los nombres de: Problema 3n+1; Cartografía 3x+1; Algoritmo de Hasse; Problema de Kakutani; Algoritmo de Syracuse;

Conjetura de Thwaites y Problema de Ulam. Para darnos una idea de lo que significa esta conjetura, imaginemos una nube en la que se está formando

granizo. Cada una de las bolitas de hielo del granizo presenta una dinámica muy peculiar: describen dentro de esa nube una trayectoria única con un

determinado grado de complejidad antes de precipitarse a la superficie terrestre. Pues bien, cuando formamos alguna secuencia de Collatz, de acuerdo con

el procedimiento que este matemático sugirió, resulta que los estudiosos de esta conjetura dicen que existe alguna similitud entre el desarrollo de

estas secuencias y el comportamiento de los granizos dentro de la nube. Es por ello que a los elementos de cualquier secuencia de Collatz se les

denomina ?números granizo.? Esta denominación no significa que los matemáticos estudiosos de estas secuencias estén interesados en algún fenómeno

meteorológico, incluido el de la formación de granizo; se trata de una denominación puramente descriptiva. El verdadero interés por la Conjetura de

Collatz es el de las propiedades especiales que presentan los números enteros positivos al ser ?expuestos? a las reglas del procedimiento de Collatz

consistente en un sencillo algoritmo que subraya la posibilidad de que cualquier número entero positivo, igual o mayor que 3, configure una secuencia

que exprese al número ?1? (la unidad) como el elemento entero último y límite de su conjunto. La dificultad al abordar este problema estriba en que

cualquier secuencia de Collatz presenta un ?desarrollo? la mayoría de las veces aparentemente caótico y por lo tanto irreductible pero que, al final, se

?colapsa? en la unidad; momento en el que la secuencia su vuelve periódica. ?Caótico? es la otra etiqueta que justifica el uso de la expresión ?números

granizo? para calificar el desarrollo de la secuencia de Collatz (la llegada a tierra de los granizos es análoga a la llegada de la sucesión al valor ?

1?). Un ejemplo de esto es: Sea el número 6: el número 6 es par y por lo tanto lo divido entre 2; el cociente resultante es 3, como éste es impar lo

triplico y le sumo 1, resulta 10. El número 10 es par; lo divido por 2 y resulta 5. El número 5 es impar; lo triplico y le sumo 1, resulta 16. El número

16 es par; lo divido por dos y resulta 8. El número 8 es par; lo divido por dos y resulta 4. El número 4 es par; lo divido por 2 y resulta 2. El número

2 es par y lo divido por 2, el resultado es 1. Fin del proceso. Si expresamos el resultado del anterior proceso como un determinado conjunto sería así:

? ? ?6,3,...,1 ? 1 6 S C ? que se lee: ?la secuencia de Collatz que comienza en 6 y termina en 1 es igual al conjunto 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1?. Los

interesados en estas secuencias creen que es útil expresar el número de pasos (iteraciones) que se invirtieron para llegar al número 1; en el anterior

ejemplo se invirtieron 8 pasos (el primer elemento no se cuenta por ser el número entero que da inicio a la aplicación del algoritmo). (Nuestros

lectores pueden intentar aplicar lúdicamente este procedimiento apoyándose en el uso de alguna calculadora; pueden jugar a ?las carreras de números?: de

entre un conjunto de números elegir algunos al azar, apostar al que creamos que será el primero en llegar al número 1). Algunos han visto en la

Conjetura de Collatz una manera diferente de ver el ?problema de la detención? propuesto por Alan Türing, pues el problema de la detención se ha

revelado ?indecidible? (1), o sea que no es posible determinar lógicamente en cuántos pasos, a partir de un determinado número entero, llegará una

secuencia hasta expresar el número 1; hecho que no es muy alentador para los que se centran en el número de pasos de la aplicación del algoritmo de

Collatz hasta llegar a la unidad Plan de trabajo: Nuestro tema de estudio es, pues, la Conjetura de Collatz que podemos enunciar así: todo número

entero, al ser sometido a las reglas del Algoritmo de Collatz, generará un conjunto que expresará como elemento último (antes de volverse periódico) la

unidad (el número 1). Recordemos que una conjetura es una hipótesis, en el sentido de esta investigación, una explicación plausible acerca de un

fenómeno que de repente nos parece inexplicable; los matemáticos intentan someter las hipótesis al riguroso examen de poderosos procedimientos lógicos

(demostraciones) con el fin de determinar su veracidad o falsedad. En el caso de la Conjetura de Collatz, por ser una hipótesis de ?difíciles asideros?,

debemos encontrar la manera de ?acorralar? las posibles excepciones que den al traste con su supuesta veracidad o bien que se determine que no hay

excepción alguna y por lo tanto se le dé el ?status? de teorema (una verdad matemática). En este trabajo, a través de un procedimiento sencillo (un

algoritmo), intentamos llegar a una expresión que nos permita establecer (intento de ?acorralamiento?) una razonable relación entre una forma de

trabajar exclusivamente con números impares (a la que se le llama ?Función de Collatz?) y ciertos números que al determinar su raíz cuadrada dan como

resultado un número entero (a este tipo de números se les llama ?cuadrados perfectos? y fueron estudiados por un matemático llamado Fermat quien

descubrió y demostró que al sumarles la unidad a éstos es posible obtener infinitos números primos). Recordemos que los números primos son esenciales

para comprender la naturaleza y las relaciones existentes entre los números enteros y son imprescindibles para ocultar (codificar), por motivos de

seguridad, información vital para la sobrevivencia de empresas y hasta de Estados Nacionales. Creemos que con nuestra propuesta es posible mejorar

nuestras posibilidades de encontrar alguna posible excepción dentro del conjunto de números que está integrado por los números primos que resultan de

sumar un múltiplo de cuatro más la unidad (4n+1) pero no de todos éstos: solamente de aquéllos que a su vez son resultado de la suma de números primos

gemelos más la unidad [(6n±1)(primos)+1 = (4n+1)(primos)] ; los números primos gemelos, hagamos memoria, son aquéllos primos que guardan entre sí una

distancia de apenas dos unidades y cuya infinitud de su conjunto aún está por ser demostrada. Trabajando con módulos. Una manera de trabajar con una

gran cantidad de números a la vez consiste en ordenarlos en líneas y en columnas; de este modo, decimos que cada columna se compone de números que son

?congruentes? entre sí porque al dividirlos por algún número dígito (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9) siempre arrojan como resultado el mismo residuo. Al

proceder así, decimos que trabajamos con Aritmética Modular. Trabajar por módulos es como pasar los números por un cedazo (coladera, criba) para que

solamente queden ?atrapados? en nuestra red aquellos números que son útiles para nuestros fines. Otro recordatorio útil: las secuencias progresan de

acuerdo con una razón. Cuando la secuencia es presentada de manera horizontal ésta progresa mediante una y solamente una razón determinada; por ejemplo

la secuencia aritmética 2, 4, 6, 8... progresa en razón de dos unidades o sea de ?dos en dos? (2, 2); o la secuencia geométrica 1, 2, 4, 8, 16... que

progresa en razón de duplicaciones o sea de ?doble en doble? (2n, 2n). Hay otras secuencias cuya razón es menos intuitiva como la Secuencia de

Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... o alguna de las secuencias de Collatz. Ahora bien, cuando se presenta de forma modular cualquier secuencia

numérica, se observa que de manera horizontal continúa progresando de acuerdo con su razón específica, pero se agrega la razón con la que crecen todas y

cada una de las secuencias de cada una de las columnas (llamémosla ?razón vertical?): observemos el siguiente ejemplo que presenta modularmente al

conjunto de los números impares precisamente con el que se da inicio en la aplicación de nuestra criba: 2? CUADRO 1. El Conjunto de los Números Impares

Conteos de 2 en 2. 10? Conteos de 10 en 10. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 (...) (...) (...) (...) (...) Los puntos entre paréntesis representan la infinitud

del conjunto de cada columna. Observemos que de manera horizontal la razón es ?de dos en dos?, en cambio, de manera vertical, los conteos son en razón

?de diez en diez?. Sostenemos que, con base en estas razones (la ?horizontal? y la ?vertical?) podemos determinar otra razón derivada de ellas (es

decir, una súper razón o ?supra/razón?) con la que podamos descubrir ?propiedades ocultas? (no evidentes) y que nos permita, a su vez, seguir

descubriendo relaciones más complejas entre los números de ese conjunto (podríamos decir que deseamos tener una criba que filtre de manera ?más fina?).

En el caso del cuadro 1, la supra/razón sería la de ?dos sobre diez? (2/10) o, en su forma equivalente, la de ?uno sobre cinco? (1/5). Para las

secuencias que crecen de acuerdo con razones ?sencillas? esto no es tan relevante (decimos que esto es trivial) pero para aquéllas que presentan un ?

comportamiento? más complejo (como la que presentan cualquiera de las secuencias de Collatz que, presumimos, conforman un ?conjunto infinito de

conjuntos?) estas ?supra/razones? son vitales. Por falta de espacio, no podemos mostrar todas la presentaciones modulares resultantes de aplicar nuestra

criba (el Algoritmo de Collatz), baste con una descripción mediante los siguientes incisos: a) Como cada uno de los elementos del cuadro 1 son impares,

multipliquémoslos por tres y sumémosles la unidad (3n+1), se obtiene el siguiente cuadro 1.1: 6? CUADRO 1.1 El Conjunto de los Números Pares Resultante

de Operar con Cada Uno de los Elementos del Cuadro 1 mediante la suma 3n+1; Conteos de 6 en 6. 30? Conteos de 30 en 30. 4 10 16 22 28 34 40 46 52 58

(...) (...) (...) (...) (...) b) Se obtiene una nueva presentación modular de números pares (cuadro 1.1), por lo que cada uno de ellos los dividimos por

dos... c) Al hacer esto, resulta otra presentación modular que muestra, de manera alterna, valores pares e impares)... d) Confeccionamos otra

presentación modular tan solo con los impares de este conjunto para seguir aplicando la fórmula 3n+1 y desechemos los pares y se corren los impares para

no dejar ?huecos? o espacios vacíos... e) Aplicamos de manera sucesiva el procedimiento descrito desde el ?inciso /a/ al /d/? hasta llegar, digamos a la

octava representación modular de números impares, (si se quiere, pueden ser más)... f) Debido a que nos quedamos solamente con las presentaciones

modulares que contienen exclusivamente números impares; consideremos el primer elemento de cada una de estas presentaciones modulares y determinemos una

nueva sucesión, a saber: 1, 5, 17, 53, 161, 485, 1457..., como se ve, esta nueva sucesión resultante progresa rápidamente de acuerdo con la razón 3n+2.

g) Ahora determinemos las distancias entre los elementos de esta sucesión (las distancias entre los elementos de este conjunto se muestran entre

paréntesis) y son: 1 (4) 5 (12) 17 (36) 53 (108) 161 (324) 485 (972) 1457... veamos por separado estas distancias: 4, 12, 36, 108, 324, 972... estas

diferencias siguen una progresión geométrica de razón 3. Entendemos, de esta manera, que las sucesiones de Collatz son en realidad una manera de

presentar progresiones geométricas de razón 3, pero que, al agregarle la unidad, hacemos que se comporten de una manera extraña: mediante términos

coloquiales podemos afirmar que el algoritmo propuesto por Collatz ?obliga? a las progresiones geométricas de razón 3 a ?comportarse? (al agregar la

unidad) como una progresión geométrica de razón 2 que se ?decrementa? y, por tal motivo, apostamos a que cuando se aplica el mencionado algoritmo,

siempre queda al final expresada la unidad (el ?1?). h) Retomemos la progresión 1, 5, 17, 53, 161, 485, 1457..., (tengamos presente que cada uno de

estos elementos son los que dan inicio a las secuencias que ordenamos en configuraciones modulares de cinco columnas) que puede ser ordenada, a su vez,

en columnas mediante el siguiente cuadro 2: 3n+2? CUADRO 2 Secuencia de los números que dan inicio a las presentaciones modulares de impares Conteos en

función de 3n+2. 92n+(92-1) O bien 81n+80? O también: conteos en función de 81n+80 1 5 17 53 161 485 1457 4373 13121 39365 118097 354293 1062881 3188645

9565937 28697813 (...) (...) (...) (...) Aquí tenemos valores que al restarles la unidad se convierten en múltiplos de 4. Observamos que los elementos

de cada columna progresan en función de la fórmula 81n+80 y por esa razón los valores sucesivos crecen muy rápidamente. La razón que expresa este

crecimiento horizontal/vertical es (3n+2)/(81n+80), una ?supra/razón? que señala el límite de la expresión 3n+1. (2) i) Al aplicar la función 3n+1 a los

valores del anterior cuadro 2, obtenemos el siguiente nuevo cuadro 3 Reparemos en el hecho de que (al dividir entre dos los elementos de cada columna

del anterior cuadro 3) siempre obtendremos números pares; esto significa que nuestro procedimiento ha encontrado un límite debido a que no encontramos

cociente impar alguno; en otras palabras: los elementos del anterior cuadro 3 son múltiplos de cuatro y al dividirlos por dos ya no expresarían de

manera alternada valores pares e impares; solamente obtendríamos números pares. De querer seguir, tendríamos que dividir estos elementos entre cuatro

para que alguno de ellos exprese un cociente impar; debido a que esto rebasa nuestro algoritmo, debemos detenernos aquí (3). Así, los elementos de los

cuadros 2 y 3, crecen según las supra/razones (3n+2)/(81n+80) y (3n+4)/(81n+160) respectivamente. j) Ahora operemos con la primera supra/razón

inmediatamente arriba expuesta (3n+2)/(81n+80) (con la misma que crecen los elementos del cuadro 2) considerando los valores de la sucesión de números

impares 1, 3, 5, 7... (con los que dio inicio nuestra aplicación) y con ella configuremos un cuadro como el siguiente: En este cuadro 4 la sucesión 3n+2

progresa de 6 en 6. En cambio la sucesión: 161, 323, 485, 647, 809, 971, 1133, 1295, 1457, 1619, 1781..., es más compleja en cuanto a su crecimiento

pues obedece a una ecuación especial conocida como ?Ecuación de Pell? (o, para ser justos, Ecuación de Brouncker) y que, coloquialmente plantea la

pregunta: ¿cuáles son los cuadrados perfectos, uno de los cuales es multiplicado por un número no cuadrado perfecto, cuya diferencia es la unidad?

Vincenzo Librandi afirma: ?si A=[A157953] 81*n.^2-n [sic] (80, 322, 726, ,.,); Y=[A010857] 18 (18, 18, 18, ,.,); X=[A157954] 162*n-1 (161, 323, 485,

.,), tenemos, para todos los términos, la ecuación de Pell X^2-A*Y^2=1. Ejemplo: 161^2-80 *18^2=1; 323^2-322*18^2=1; 485^2-726*18^2=1. (4). Como podemos

observar nuestra razón (3n+2)/(81n+80) relaciona, por un lado, la función C(n) que, como vimos, es una función iterativa de Collatz que solamente aplica

a números impares y, por el otro lado, con los cuadrados perfectos a través de la ecuación de Pell/Brouncker; pero aún más importante: relaciona los

valores de 81n+80 con la ?unidad? (el número ?1?) tan relevante para la veracidad de la conjetura de Collatz. k) Consideremos ahora las razones

presentadas en el cuadro 4: 5/161; 11/323; 17/485; 23/647; 29/809; 35/971; 41/1133; 47/ 1295; 53/1457; 59/1619; 65/1781... Notamos que tanto los

numeradores como los denominadores son números de la forma 6n-1; es decir, que si les agregamos la unidad son divisibles por 6 tal y como se muestra en

el siguiente cuadro 5. También observamos que tanto los numeradores como los denominadores son números de la forma 4n±1, alternándose los valores -1,

+1, en la secuencia. Veamos el siguiente cuadro 6. Razones generales CUADRO 6 Secuencias de las razones que muestran la relación íntima con los números

de la forma 4n±1. n/d 5/161 11/323 17/485 23/647 29/809 35/971 41/1133 47/ 1295 (...) n±1; d±1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 (...) (4n±1)/(4d±1) 4/160 12/324

16/484 24/648 28/808 36/972 40/1132 48/1296 (...) 4 4 1 / 4 4n ?1 d ? 1/40 3/81 4/121 6/162 7/202 9/243 10/283 12/324 (...) Esto cuadros en conjunto nos

dicen que hay valores que son tanto de la forma 6n-1 como de la forma 4n+1y nos llevan a sospechar que de haber alguna excepción a la conjetura de

Collatz, ésta debiera buscarse en el conjunto de los números primos de la forma 4n+1 o primos que son resultado de sumar dos cuadrados perfectos (5),

pero no en cualquiera de este tipo de números primos sino en aquéllos y solamente aquéllos que son resultado de la suma de dos primos gemelos más la

unidad, o bien, de manera genérica: (6n±1)(primos)+1 = (4n+1)(primos); ejemplos: (5+7)+1=13; (17+19)+1=37...(ver la nota 6) En este trabajo nos hemos

centrado en la tarea de señalar en dónde hay que buscar alguna excepción a la Conjetura de Collatz, si es que la hay; sin embargo, bajo riesgo de

parecer aún más ingenuos en nuestras afirmaciones, sospechamos que no hay excepción alguna en esta conjetura y que, por lo tanto, es verdadera. En el

artículo que presentamos para la revista Aleph Zero (hosting.udlap.mx) Fibonacci y las Tarjetas de Crédito (7) sugerimos una alternativa para mejorar la

seguridad de las tarjetas de crédito; en ese lugar observamos que la suma exhaustiva de los dígitos de cualquier número tenía como límite alguno de los

elementos del conjunto de los números dígitos y propusimos las siguientes secuencias a partir de esos límites (ver el siguiente cuadro 7). Básicamente

estos ?números de control? (nc), del cuadro 7, se obtienen mediante un procedimiento sencillo que combina la suma exhaustiva de los dígitos de un número

y la secuencia de Fibonacci, tal y como se muestra en el siguiente ejemplo para obtener el ?nc? del número 1 del cuadro de arriba: 1 es 1, por lo tanto

11; 1 más 1 es igual a 2, por lo tanto 112; 1+1+2-4; por lo tanto 1124... 1+1+2+4-8, por lo tanto... 11248; 1+1+2+4+8-16, 1+6-7, por lo tanto... 112487;

1+1+2+4+8+7-23, 2+3-5, por lo tanto... 1124875; 1+1+2+4+8+7+5-28, 2+8-10; 1+0-1, por lo tanto... 11248751. Fin. Exceptuando a los números dígito 3, 6 y

9, a partir del dígito 5 de los ?números de control? se vuelven periódicos desde el ?1? como en la llamada secuencia de Pitoun

(1,1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,7,5,1, 2,4,8,7,5,1, 2,4,8,7,5,1...) (8) Ahora observemos algo: la secuencia de Collatz que genera, por ejemplo, el número 7 es:

7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Por lo menos los siete últimos elementos que subrayamos de esta secuencia se identifican

de manera regresiva con 1248751... Pues (10)? 1+0=1; (5)?5; (16)? 1+6=7; (8)?8; (4)?4; (2)?2 y por último (1)?1 Puestas en orden, las implicaciones

quedarían así: 1,5,7,8,4,2,1 que son imagen de 1248751 pero sin comas. Creemos que el siguiente planteamiento de Bos y Sands de la Universidad de

Calgary asocian estas implicaciones y su imagen con la posible veracidad de la Conjetura de Collatz, (en la fuente se proponen varias soluciones pero

nosotros solamente presentamos una de ellas por su relación con nuestro estudio; los subrayados son nuestros): 1540. [1990: 110] Proposed by Len Bos and

Bill Sands, University of Calgary. For k a positive odd integer, define a sequence by: a0=1 and, for n>0 an= { an-1+k if an-1 is odd an-1/2 if an-1

is even and let f(k) be the smallest n>0 such that an=1. Find all k such that f(k)=k In general, once we prove that g(k) is finite for every positive

odd integer k, then we shall have that f(k) = g(k) + card{ odd ti : 0 = i = g(k)}. We shall show that the coincidence between the sequence < tn >

(reversed) and the sequence of residues of the 2n's modulo k, for example, < 2n modulo 15 > : 1;2;4;8;1...< 2n modulo 13 > : 1;2;4;8;3;6; 12; 11; 9; 5;

10; 7; 1... < 2n modulo 9 > : 1;2;4;8;7;5;1... is not accidental. In fact we can prove that, for every odd k > 1 (already excluding the case k = 1, for

which f(1) = 2), we have: (a) tn < k for all n; b) 2ntn = 1 mod k for all n; and so (c) if h is a positive integer such that 2h =1 mod k, then tn =2h-n

mod k for n = h, and so the period of the sequence < tn > is g(k) = min{h > 0 : 2h =1 mod k}(:= the order of 2 mod k): (9) Básicamente este

planteamiento lo que propone es trabajar con módulos para definir secuencias cuando una determinada variable es un número impar o par; pero resaltemos

el parecido sorprendente de este planteamiento de Bos y Sands con la Cartografía 3x+1 (la Conjetura de Collatz) y más aún sorprendente es (por lo menos

para nosotros) la solución que ofrece para < 2n modulo 9 > : 1;2;4;8;7;5;1... Podemos concluir que la Conjetura de Collatz es una de las hipótesis más

sencillas de plantear pero, al igual que otras, muy difíciles de demostrar pues enlaza por lo menos con otros dos planteamientos aún sin resolver: la Conjetura Binaria de Goldbach y la Infinitud del Conjunto de Números Primos Gemelos.

Sería interesante para el lector leer las diversas soluciones que dan algunos matemáticos al planteamiento; son realmente inspiradoras


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Aleph-Zero No. 60


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La salud está en la dieta .

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El embarazo y el cuidado dental .

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¿Cuánto cuesta la ciencia? (abril - junio 2011) .

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