ALEPHZERO 8, Marzo-Abril 1997.


Entropía

David Ruelle (transcripción de Orlando Guzman)


Hay varias maneras de pensar seriamente en ciencia. Algunos simplemente se sientan frente a su escritorio y se quedan mirando una hoja de papel, otros suelen dar paseos. Personalmente prefiero tumbarme de espaldas, con los ojos cerrados. Un científico trabajando realmente duro puede parecerse enormemente a alguien tomando una siesta.

El pensar seriemente en ciencia es una experiencia realmente gratificante, pero también significa trabajo duro. Uno tiene que perseguir las ideas denodadamente, permitírsele volvérsele esto una obsesión. Si aparece una posibilidad interesante, tiene que ser enfocada, verificada, algunas veces retenida, pero la mayor parte del tiempo rechazada.

Ideas generales audaces deben ser desarrolladas, pero entonces hay que verificar los detalles, y con mucha frecuencia, se descubren errores desastrosos. La construcción debe entonces ser rearreglada, o bien descartarse grandes partes de ella. Y el proceso continúa día tras día, semana tras semana, mes tras mes.

No todos los que se dicen científicos trabajan duro, por supuesto. Muchos de ellos dejaron de hacerlo hace tiempo. Otros jamás empezaron. Pero para aquellos que están en el juego, en lugar de limitarse a bobear y simular, éste les resulta duro, doloroso, exigente, agotador. Y si el fruto de esta labor, el resultado de este esfuerzo, se recibe con arrogancia y desdén, puede ocurrir una tragedia.

Imaginen a un hombre que ha encontrado el sentido de un aspecto fundamental de la Naturaleza. Año tras año ha perseverado en su investigación a pesar de los ataques y la incomprensión de sus contemporáneos. Ahora esta viejo, enfermo y deprimido. Esto fue lo que le ocurrió al físico austriaco Ludwig Boltzmann. El 5 de septiembre de 1906, cometió suicidio. Tenía sesenta y dos años.

Boltzmann y el norteamericano Josiah Willard Gibbs fueron los creadores de una nueva ciencia, llamada mecánica estadística. Su contribución a la física del siglo XX no es menor al descubrimiento de la relatividad o la mecánica cuántica, pero es de una naturaleza distinta. Mientras la relatividad y la mecánica cuántica destruyeron las teorías existentes y las remplazaron por otra cosa, la mecánica estadística operó una silenciosa revolución. Construyó sobre los modelos fí sicos existentes, pero estableción nuevas relaciones e introdujo nuevos conceptos. La maquinaria intelecutual desarrollada por Boltzmann y Gibbs ha probado ser extraordinariamente poderosa y se aplica hoy día a toda clase de situaciones más allá de los problemas físicos originalmente tratados mediante ella.

El punto de partida de Boltzmann fué la hipótesis atómica: la idea de que la materia se compone de un gran número de pequeñas bolitas danzando de aquí para allá. A finales del siglo XIX, cuando Boltzmann realizó su trabajo, la estructura atómica de la materia no se había sondeado aún, ni mucho menos había sido aceptada de manera general. Parte de los ataques en contra de Boltzmann estaban motivados por su creencia en los átomos. No sólo creía en su existencia, sino que procedió a deducir sorprendentes consecuencias de la supuesta estructura atómica de la materia.

Sólo la mecánica clásica estaba disponible en los días de Boltzmann, pero es conveniente presentar algunas de sus ideas en el lenguaje cuántico. Después de todo, hay una relación muy estrecha entre mecánica clásica y mecánica cuántica. Ambas intentan describir la misma realidad física y, por ejemplo, un número de estados en mecánica cuántica corresponde a un volumen en el espacio fase en mecánica clásica. Deberé, pues, concentrarme en las ideas y no en preocuparme demasiado en anacronismos de detalles.

La revolución industrial del siglo XIX trajo un gran interés en la máquina de vapor y en la transformación del calor en trabajo mecánico. Se sabía que se puede transformar libremente la energía mecánica en calor (por ejemplo, frotrando dos piedras) pero no viceversa.

El calor es una forma de energía, pero su uso sigue reglas muy estrictas: algunos procesos ocurren fácilmente, otros jamás lo hacen. Por ejemplo, es muy simple mezclar un litro de agua fría y un litro de agua caliente para obtener dos litros de agua tibia. ¡Pero traten de separar los dos litros para tener de nuevo un litro de agua fría y uno de agua caliente! No funcionará, mezclar agua caliente y fría es un proceso irreversible.

Un paso hacia la comprensión de la irreversibilidad se dió al definirse la entropía.Un litro de agua fría tiene cierta entropía, y un litro de agua caliente tiene una entropía diferente. Estas entropí as pueden calcularse a partir de datos experimentales, pero no nos detendremos aquí a detallar como se hace esto. La entropía de dos litros de agua fría es el doble de la entropía de un litro, y similarmente para el agua caliente.

Si ponen un litro de agua fría y un litro de agua caliente lado a lado, la suma de sus entropías tiene un cierto valor. Pero si ahora los mezclan, la entropía de los dos litros de agua obtenidos tendrá un valor mayor. Al mezclar agua fría y caliente han aumentado la entropí a del universo, irreversiblemente. He aquí la regla, conocida como la segunda ley de la termodinámica: en cada proceso físico, la entropía permanece constante o aumenta, y si aumenta, el proceso es irreversible.

Esto es bastante misterioso, y no totalmente satisfactorio. ¿Cuál es el significado de la entropía? ¿Por qué siempre aumenta y nunca disminuye? Estos eran los problemas que Boltzmann intentó resolver.

Si creen en la ''hipótesis atómica'', aceptarán que las moléculas que componen un litro de agua fría pueden estar en toda clase de configuraciones diferentes. De hecho, las moléculas andan brincando y la configuración cambia todo el tiempo. En lenguaje cuántico, tenemos un sistema de muchas partículas, el cuál puede estar en un grán número de estados diferentes. Pero mientras estos estados parecerán diferentes si pudiesen ver los detalles microscópicos, todos ellos se ven igual a simple vista; de hecho todos se ven como un litro de agua fría.

Así, al referirnos al litro de agua fría, de hecho estamos hablando de algo bastante ambiguo. El descubrimiento de Boltzmann fué que la entropía es una medida de esta ambigüedad. Técnicamente, la definición correcta es que la entropía de un litro de agua fría es el número de dígitos en el número de estados ''microscópicos'' que corresponden a este litro de agua fría. La definición se extiende por supuesto al agua caliente y a muchos otros sistemas.

El logro de Boltzmann fue relacionar un concepto matemático natural y una previamente misteriosa cantidad física. Técnicamente, uno podría decir ''logaritmo'' en lugar de ''número de dígitos'', multiplicar por una constante k (k se llama la constante de Boltzmann) y quizá sumar otra constante al resultado, pero este no es el sitio para discutir tales detalles.

Pongamos ahora lado a lado un litro de agua fría y un litro de agua caliente, sin mezclarlos. Cada estado del litro de agua fría y cada estado del litro de agua caliente dan un estado del sistema compuesto. Por lo tanto, el número de estados del sistema compuesto es el producto del número de estados de los dos llitros componentes, y la entropía es la suma de las entropías. Esto no es demasiado sorprendente, hemos preparado las definiciones para que todo sea precisamente así.

¿Pero que pasa si ahora mezclamos el agua fría y el agua caliente? De alguna manera, obtenemos agua tibia, y los detalles de como ocurre esto aún desconciertan a los científicos. Lo que está bien establecido es que el número de estados de dos litros de agua tibia es mayor que el número de estados de un litro de agua fría y un litro de agua caliente. Y recuerden que todos los estados de agua tibia se ven igual a simple vista: no hay forma de reconocer aquellos estados que provienen de mezclar agua fría y agua caliente. Por tanto, la entropía aumenta como resultado del mezclado.

¿Pero por qué debería haber irrevesibilidad? El mundo a nuestro alrededor se comporta muy irreversiblemente, pero ¿cómo probaremos que esto debe ser así? En la ciencia, cuando no se sabe como probar algo, a menudo es una buena idea tratar de probar lo contrario, y ver que pasa. Dicho esto, tratemos de hallar reversibilidad.

Las leyes básicas de la mecánica clásica no contienen ninguna irreversibilidad.Supongan que observan los movimientos y las colisiones de un sistema de partículas durante un segundo, y supongamos que pueden súbitamente invertir las velocidades de todas las partículas. Éstas irían entonces en reversa, y colisionarían de nuevo en orden inverso, y tras un segundo tendrían de nuevo la condición inicial (con velocidades invertidas, pero si quisieran, podrían invertir estas velocidades otra vez). Según este argumento, si la entropía puede aumentar, también puede disminuir, y la irreversibilidad es imposible. ¿Estaba equivocado Boltzmann? ¿O acaso hemos omitido algo?

Lo que hemos conseguido es que el tiempo ''vaya en reversa'' al invertir simultáneamente las velocidades de todas las partículas en un sistema grande. Uno puede, por supuesto, argumentar que esto es imposible en la práctica. Pero algo similar a esto es posible para algunos sistemas (de espines). Y por supuesto, es embarazoso fundamentar una ley física general, como el hecho de que la entropía siempre aumente, en una imposibilidad práctica que puede ser eliminada un día de estos.

Hay sin embargo, una imposibilidad más sutil acerca del experimento de inversión de velocidades recien descrito, y esto tiene que ver con la dependencia sensitiva en la condición inicial. Cuando aplicamos las leyes de la mecánica clásica para estudiar los movimientos y colisiones de un sistema de átomos o moléculas, imaginamos que el sistema no interactúa con el resto del universo. Pero esto es muy poco realista. Incluso el efecto gravitacional de un electrón en el límite del universo conocido es importante y no puede despreciarse.

Si invertimos las velocidades tras un segundo, no vemos retroceder el tiempo. Tras una pequeña fracción de segundo, el electrón en el lí mite del universo habrá cambiado el curso de las cosas, y la entropía, en vez de dismunir, continuará incrementándose.

El papel de la dependencia sensitiva en la condición inicial en la comprensión de la irreversibilidad no fue apreciada en los días de Boltzmann. De nuevo, me he permitido un pequeño anacronismo en mi discusión. Retrospectivamente, vemos que las ideas de Boltzmann encajan bellamente con lo que luego hemos aprendido que es cierto. Pero durante la época de Boltzmann, las cosas estaban lejos de ser claras. Por supuesto que él sabía que estaba en lo correcto. Pero los otros vieron que el trabajo de Boltzmann estaba completamente basado en la dudosa ''hipótesis atómica''. Vieron que había usado dudosas matemáticas para deducir una evolución temporal irreversible de las leyes de la mecánica clásica, las cuales son claramente reversibles. Y no estaban convencidos.

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Entropía

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