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Consejo Nacional para el Entendimiento Público de la Ciencia.

Concepción matemática defectuosa y desempeño matemático estudiantil en carreras de ciencias económicas y sociales


Cirilo Orozco Moret + Universidad De Carabobo. Unidad De Investigación En Educación Matemática Uiemat; Jesús Parra Arroyo + Universidad De Carabobo. Unidad De Investigación En Educación Matemática Uiemat

Introducción
Pasados dos milenios de la era cristiana, una vez alcanzada la intercomunicación en tiempo real a escala planetaria, la prospectiva pedagógica hacia la primera mitad del siglo XXI, señala que la meta general de la educación sistemática es formar a los ciudadanos globales con las competencias esenciales para comunicarse de manera políglota, multimedia y transcultural; a objeto de comprender y explicar matemáticamente el mundo de la mano de la tecnología; en un contexto social de cambios acelerados, intempestivos y recurrentes (Orozco y Díaz 2009a).

En concordancia con esta premisa, los sistemas educativos nacionales a escala mundial están marcados por el creciente uso de la tecnología digital y por postulados civilizatorios que involucran el concepto de pensamiento complejo, como modelo explicativo de las características caóticas, fractales y difusas con las cuales se intenta interpretar y representar la realidad humana actual. Dentro este marco conceptual, en la concepción pedagógica emergente, se introducen constructos como transdisciplinariedad, interdisciplinariedad, diversidad, interculturación, integración, solidaridad, incertidumbre, escepticismo y pluralismo; significados sociales considerados necesarios para alcanzar niveles de desarrollo y satisfacción para la mayoría de los ciudadanos de la civilización mundial (Morin, 2002).

Sin embargo, en la actualidad se presenta un desequilibro notorio evidenciado en una discrepancia abrumadora entre los postulados filosóficos y prospectivos de la educación sistemática a nivel planetario y la realidad observada en la práctica educativa en las escuelas. Las metas generales de la educación escolar siguen siendo demasiado elevadas respecto a los resultados obtenidos en la actividad de formación formal de ciudadanos educados. En particular es evidente el desfase entre expectativas y hechos, entre la educación matemática pretendida y la realidad vivida, en las actividades de aula de esta disciplina en todos los niveles de la escolarización (VillaOchoa, Bustamante y Berrio, 2010).

Desde esta perspectiva, el deber ser inferido y la prospectiva en materia educativa señala el rol del conocimiento numérico como uno de los componentes esenciales para la formación de profesionales y ciudadanos educados en uno de los lenguajes más universales y cotidianos en nuestra época; tal como se reconoce de la disciplina matemática. Pero en contraposición, los indicadores de desempeño y formación matemática de toda la educación sistemática incluyendo los niveles inicial y básica parecen ir en contracorriente, produciendo generaciones de ciudadanos anumericos y matematifobicos (González y Gutiérrez, 2005).

Aunque por diferentes circunstancias un gran número de los estudiantes logran superar los requisitos de evaluación escolar de los aprendizajes año tras año y prosiguen en el sistema educativo hasta llegar a las universidades, es en las casas de estudios superiores donde se detectan y reportan constantemente evidencias de formación matemática deficiente y anómala. Errores, omisiones, confusiones, equivocaciones y concepciones erradas de lo matemático termina siendo la característica común en el trabajo de los estudiantes universitarios. Al respecto los investigadores coinciden en reportar que las expectativas de democratización y socialización de lo matemático, por parte de la escuela, no se han logrado y que ello se evidencia en los resultados observados en el desempeño matemático en las universidades (González y Gutiérrez, 2005, Orozco y Díaz 2009b).

Sin embargo, los hallazgos y las aplicaciones de estas investigaciones,
los resultados y recomendaciones que sobre el problema propone la comunidad científica, no han logrado mejorar sustancialmente el desequilibrio entre lo esperado y lo logrado del sistema de educación formal en materia de educación matemática. Al respecto, llama poderosamente la atención de los estudiosos la existencia y persistencia de un repetido patrón de errores, omisiones e imprecisiones en el conocimiento matemático básico de la mayoría de los estudiantes a lo largo de todo el ciclo de escolarización. Luego se deduce de la bibliografía consultada que el interés y la atención de la comunidad científica, sobre el aprendizaje anómalo, se ha enfocado hacia el estudio de los errores puntuales de manera específica o disciplinar, en consecuencia poco se conoce sobre el error matemático como modo de pensamiento generalizado y menos como proceso específicos de gestión equivoca de información en la red de contenidos y en la cadena secuencial del conocimiento matemático escolar (Rico, 1995; Rico y Castro, 1994; Socas, 1997).

Pareciera necesario entonces descubrir, identificar y explicar las vinculaciones entre razonamientos erróneos y aquellos contenidos esenciales y comunes de aplicación frecuente, que constituyen fuente de error recursivo e intermitente en el tiempo y dentro del sistema de conocimientos matemáticos generales, a lo largo de la escolaridad. Se conjetura que los equívocos regulares de esta naturaleza; más allá del simple significado de error, falla u omisión, terminan configurando una concepción defectuosa de la matemática como proceso de pensamiento que arraigada en el repertorio cognitivo del aprendiz, lo conduce a cometer equívocos repetidamente en el convencimiento de que hacen lo correcto, según su concepción.
En ese sentido, este ensayo tiene el propósito de reflexionar, a manera de exploración, sobre la naturaleza de las concepciones matemáticas defectuosas que muestran los alumnos de reciente ingreso a la educación superior, partiendo de la interpretación de discrepancias entre el repertorio de contenidos, procesos y actitudes matemáticas adquiridos en el sistema preuniversitario de educación con respecto al desempeño observado en los contenidos y aplicaciones particulares en la matemática del ciclo básico de las carreras de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de Carabobo.

La situación de la educación matemática en el ámbito contextual de análisis.
En Venezuela, el problema del bajo desempeño académico en matemática es sistémico y recurrente; desde hace décadas se tienen evidencias de una carencia en la formación matemática del alumnado en todos los niveles del sistema educativo nacional y se tiene conocimiento de que a pesar de los esfuerzos por masificar y democratizar la matemática, ésta sigue siendo un campo restringido al que acceden con éxito sólo pequeñas proporciones de estudiantes. Las carencias son particularmente notorias, al momento de ingresar los estudiantes a las carreras universitarias, período en el cual se magnifica la sensación de ineficiencia del subsistema escolar en formar estudiantes aptos para abordar con éxito estudios en las disciplinas científicas alineadas al campo numérico.

En el ámbito particular de la Universidad de Carabobo éste problema ha sido estudiado desde diversas perspectivas y se han ensayado diferentes estrategias en aras de conseguir una solución, o al menos, reducir los efectos negativos de una educación manifiestamente incompleta y/o deficiente en un área prioritaria para el currículo de profesionalización como es la formación matemática universitaria. Sin embargo, a pesar de los esfuerzos, hasta ahora, es poco lo que se ha podido conseguir para minimizar los indicadores negativos del desempeño estudiantil en esta disciplina (Orozco y Morales 2007; Orozco y Díaz, 2009a).

En el escenario de la Facultad de Ciencias Económicas y Sociales (FaCES), de la Universidad de Carabobo, la evaluación de la eficiencia académica en las asignaturas de corte matemático, al menos en el Ciclo Básico de la Facultad, presenta indicadores insatisfactorios en relación con la misión y visión de la Facultad y de la Universidad misma. En su afán por mantener la calidad de la educación superior la institución ha mantenido políticas de reclutamiento exigentes para garantizar las mejores adquisiciones de su plantel docente y a su vez se ha procurado establecer criterios de merito, justicia y equidad para el ingresos de los alumnos mejor preparados y más aventajados (Orozco y Díaz, 2009b).

Sin embargo, la realidad local es que el perfil matemático de ingreso es evidentemente bajo y con tendencia al decrecimiento. La mayoría de los estudiantes seleccionados no alcanzan la calificación aprobatoria en la prueba de habilidad numérica, aun cuando la mayoría son aspirantes a proseguir estudios de economía, contaduría y administración las cuales tienen alto contenido matemático. Esta situación genera una cadena de consecuencias desfavorables como baja prosecución, represamiento matricular en las disciplinas de naturaleza numérica, con incremento desmesurado de la repitencia y la deserción y otros problemas que exigen soluciones eficientes y complejas (Orozco y Díaz, 2009a).

Es lógico deducir que, con este nivel matemático de entrada deficiente, el rendimiento de los estudiantes y de la institución presente indicadores negativos. Por ejemplo, en un análisis del 2005, realizado por la Oficina Central de Control de Estudios (Hoy DICES), se reportaron alarmantes índices de deserción y abandono. Se observó que altos porcentajes de estudiantes utilizaron hasta tres y más veces del tiempo regular de estudios para obtener sus títulos. Aunque esto no es exclusivo del área de matemática, no es sorprendente que en carreras afines a la matemática los indicadores sean aún más alarmantes. Por ejemplo, la Escuela de Economía presentaba casi 50% de graduados con más de diez años de escolaridad universitaria (Sulvarán, 2005 en Orozco y Morales, 2007).

En general, se supone que estos indicadores críticos son debidos a la acumulación y reiteración de errores, asignatura por asignatura, y se hace referencia a que el desconocimiento del lenguaje matemático podría ser una de las causales principales del desconcierto de los alumnos de matemática en la Universidad y también que esto es fuente recursiva de todo tipo de equivocaciones y desempeños deficientes; operacionales, conceptuales y heurísticos. Decididamente, los investigadores y teóricos de la educación matemática convergen en sugerir que se amplíen los conocimientos del lenguaje matemático en los cursos universitarios iniciales. Recomiendan que el estudio del lenguaje matemático se dicte en un curso especifico de matemáticas básicas; una “Matemáticas0, donde la materia estudiada no sea una ampliación de lo ya conocido, o de lo que debe ser conocido por el alumno, sino un recordatorio exhaustivo de los conocimientos necesarios para abordar con éxito el paso del Instituto a la Universidad” (Ortega Dato y Ortega Dato, 2002, p 2).

En consecuencia, los investigadores asumen necesario identificar el tipo de errores, en vinculación con las debilidades y las concepciones defectuosas que afectan la comprensión de contenidos matemáticos fundamentales y de obligatoria aplicación en el modelaje de fenómenos económicos y sociales. Se espera que los resultados de esta reflexión proporcionen información pertinente para intervenir racionalmente en las aulas universitarias en la construcción de alternativas que permitan reducir el desequilibrio de baja prosecución de nuevos contingentes de estudiantes que ingresan sin la debida preparación y sin las debidas competencias matemáticas.


Perspectivas de la comunidad académica
En una breve revisión documental, sobre la percepción del problema por parte de los docentes, se pudo determinar que la comunidad académica de educación matemática, ha manifestado su interés en allanar el inconveniente de bajo desempeño matemático en la universidad atendiendo las deficiencias detectadas en la formación preuniversitaria, actuando con alternativas de ensayo didáctico considerando la experimentación pedagógica como un factor de importancia para explicar el fenómeno, y en función de ello han respondido con pragmatismo en aras de satisfacer las necesidades inmediatas.

En consecuencia, se han encontrado diversidad de propuestas didácticas, entre las que destacan la búsqueda de mejorar la comprensión y el razonamiento, el uso de la matemática como lenguaje cotidiano, la indagación sobre la mejora de los materiales de instrucción, el perfeccionamiento de la forma de evaluación, entre muchas otras. En general, la mayoría de las propuestas son de tipo remedial y aunque presentan rasgos de innovación, casi todas, las alternativas terminan insistiendo en repetir y reenseñar los contenidos clave de la misma manera en la que se generó el desequilibrio cognitivo. Sin embargo, en menor proporción se atiende desde la perspectiva pedagógica el análisis de la naturaleza psicoeducativa del error en esos diferentes contenidos matemáticos clave, lo cual, constituye el punto focal de esta reflexión exploratoria.

De hecho, en la actualidad la producción de estudios que tienen que ver con la evaluación del pensamiento matemático es cada vez más voluminosa, diversificada y multidisciplinaria y en esa corriente se reportan patrones y pistas de razonamiento anómalo que podrían perfilar el origen de la concepción matemática defectuosa. También las evaluaciones internacionales ofrecen resultados multidimensionales sobre las formas de procesamiento de la información de los estudiantes Al respecto, a nivel internacional se conocen grandes proyectos transnacionales que intentan registrar y comparar el avance de la educación matemática en todos los niveles, en todas sus disciplinas numéricas y en todos los escenarios geográficos y culturales. Como muestra de tamaña empresa se pueden mencionar, entre otros, los proyectos de evaluación educativa del Consejo Nacional de Profesores de Matemática (NCTM,1989). El Programa Internacional de evaluación de los Estudiantes (PISA, 2009) y el Estudio Internacional de Tendencias en Matemáticas y Ciencias (TIMMS, 2007).

Estas y otras organizaciones concuerdan en recomendar una matemática escolar contextualizada, transdisciplinaria, e integradora la cual introducida como un lenguaje cotidiano y mediante el uso de todo tipo de nueva tecnología permitiría al aprendiz comprender y explicar matemáticamente su entorno vivencial; bien sea en ambientes de trabajo, de estudio o de actividades cotidianas. También sugieren una actitud de formación de por vida y la aceptación y adaptación de cambios recurrentes en el aprendizaje y la enseñanza de la matemática.

En referencia a esos principios y estándares del NCTM, han alimentado reflexiones y proposiciones colectivas a escala mundial. Por ejemplo, en 1999 se llevó a cabo, en España, una reunión de representantes de las distintas Sociedades de Matemáticas y la Federación de Sociedades de Profesores de Matemáticas españolas. De allí emergió un documento de diagnóstico de problemas y alternativas de solución en la enseñanza de la matemática para los adultos. Entre algunos puntos vinculados con el objeto de esta investigación, se destacan tres recomendaciones suscritas en el documento: se requiere identificar la matemática básicas que necesita la población adulta; es perentorio que el currículo de enseñanza obligatoria satisfaga eficientemente esas necesidades; es prioritario que esa enseñanza, alcance los objetivos mas allá del ámbito escolar, en el contexto práctico del ciudadano y en su vida cotidiana.

En concordancia, el investigador Pérez Sanz (2004), sentenció: La alfabetización matemática de la sociedad ha de considerar que la gran mayoría de personas sólo requerirá, en la vida diaria, una capacidad interpretativa de los aspectos matemáticos que se le presenten, frente a una pequeña proporción de personas que utilizará de manera creativa o productiva, las matemáticas. Tal vez sea más importante saber entender que saber hacer. En el mismo sentido, apuntamos que es más interesante que el común de los ciudadanos tenga una actitud positiva hacia las matemáticas que el hecho de que conozca al final de sus estudios muchas cuestiones puntuales o tenga más o menos sistematizadas una serie de rutinas (Pérez Sanz, 2004, p. 3).

Estos planteamientos coinciden con la teoría constructivista del aprendizaje, con los principios y estándares del NCTM, con los fundamentos del Proyecto Tunning que en síntesis fundamentan a la llamada educación por competencias en la cual el error es considerado una oportunidad para la enseñanza y aprendizaje de lo realmente importante y útil según las expectativas de la sociedad, la institución el docente y el aprendiz. (Proyecto Tunning, 2007 NCTM, 2000).

PERSPECTIVAS CIENTÍFICAS DEL PROBLEMA
El aprendizaje de contenidos matemáticos siempre representó dificultades y generó conflictos cognitivos para los estudiantes. A su vez, para los docentes siempre ha sido un reto y una frustración el hacerse entender por todos o al menos una mayoría de los estudiantes. Por ello ha sido permanente en el tiempo el interés científico por indagar el fenómeno de la enseñanza y las diferencias individuales en el aprendizaje de contenidos matemáticos. En la década de los sesenta los movimientos reformadores de la educación matemática estimularon la investigación generando dos tendencias principales de estudio en esta disciplina. Los empiristas considerarían la educación matemática como una ciencia, por tanto propiciarían la investigación estableciendo hipótesis y controles que en ocasiones crearían condiciones artificiales de experimentación. Los intuicionistas considerarían explícitamente la educación matemática como un arte y no como una ciencia pura o aplicada; por tanto la investigación en educación matemática se concentraría en las experiencias de los mejor dotados, con mayor confianza en los juicios propios o ajenos que en los datos, con el riesgo de inferir erróneamente relaciones causales inexistentes al asumir que el mundo es o funciona como el intuicionista cree que es o funciona (UNESCO, 1973).

En la primera circunstancia se reportaron numerosos estudios experimentales sobre la causalidad y efecto del error. Mientras que, en la segunda circunstancia muchos investigadores reportaron debilidades de pensamiento matemático referido a capacidades mentales especiales y así el error sería mayormente considerado como falta de maduración, falta de entrenamiento o debidos a juicio mental erróneo o equívoco.
Ya en los años setenta, emergió un tercer punto de vista pragmático de los maestros quienes considerarían la investigación en educación matemática como una herramienta útil para resolver conflictos y desequilibrios de la práctica pedagógica en la escuela de una manera efectiva e inmediata.

Por eso, para ellos, el lugar idóneo de la investigación en educación matemática no sería la biblioteca, el laboratorio, ni el escritorio sino el aula de clase. Así, para los pragmáticos el error es más debido a procedimientos equivocados por parte de docentes y estudiantes que a debilidades cognitivas o dificultades de los contenidos. Visto de esta manera, las fallas, omisiones y confusiones son originadas producto de inapropiadas actividades, técnicas o estrategias de enseñanza o debido a equivocados métodos y malos hábitos de aprendizaje.

En el transcurso de los años ochenta se desarrollarían otras tendencias multidimensionales y puntos de vista diversos en investigación, enfocando la indagación sobre el problema de la ineficiencia en educación matemática en procesos específicos de aprendizaje en componentes afectivo y cognitivo y meta cognitivo, en los materiales y recursos, en el contexto, en la evaluación entre otros factores cuyo análisis ha mantenido en común el reconocer el rol preponderante del maestro en las actividades dedicadas a enseñar, aprender, o evaluar la educación matemática y, también, en menor escala se hizo énfasis en descifrar y tratar de satisfacer las necesidades de los estudiantes.

En la práctica., mientras la educación escolar primaria y media no logran sus objetivos de potenciar las capacidades matemáticas de los aprendices de acuerdo con las expectativas de las universidades, oficialmente los organismos competentes en materia de educación superior de diferentes países latinoamericanos coincidían en tomar medidas de selección basadas en la evaluación de prerrequisitos académicos mediante las llamadas Pruebas de Aptitud Académica (PAA), que entre otras cosas permitieron retratar la realidad de la deficiente formación matemática en la región.

Para los años noventa, debido a los bajos resultados observados en las pruebas de aptitud académica y de las pruebas de admisión interna, creció la preocupación por los estándares de calidad de educación matemática recibida en educación media y básica. Se retomaron los estudios sobre cursos preparatorios y remediales antes del ingreso a la universidad y en concordancia con esta perspectiva, diversos trabajos de investigación trataron sobre las dificultades que encuentran los estudiantes al dejar la enseñanza secundaria e ingresar a la universidad (Gascón 1997, Álvarez 2000, Rodríguez, 2010). Otros investigadores se han centrado en la determinación y el establecimiento de los contenidos verdaderamente fundamentales para diversas carreras. Muchos siguen haciendo énfasis en averiguar los efectos de la preparación previa sobre las calificaciones obtenida por los estudiantes en la educación superior. Otros tantos indagan sobre el paso de novato a experto, sobre la trasposición didáctica del saber sabio al saber enseñado, sobre el desarrollo de habilidades específicas de pensamiento matemático durante la transición SecundariaUniversidad (Gowin, 1981; Brosseau, 1999; Chevalard, 1999).

Al respecto, en el análisis que Sarco Lira (2003) hace de los resultados de la PAA venezolana del año 1997, destaca el contraste entre los resultados de habilidad verbal, con un promedio de 17,83 y el de habilidad numérica cuyo promedio apenas llegó al 2,70. En este análisis el autor informa que el promedio de notas de educación media fue de 13 puntos, y que el factor socioeconómico parece estar relacionado con el rendimiento; ya que las mejores puntuaciones en la PAA correspondieron a hijos de padres profesionales. Aunque el estudio de Sarco Lira estudio refiere el problema a un contexto institucional local, el fenómeno fue reiterativo en toda Latinoamérica y los reportes coincidían en mostrar que las PAAs develaban públicamente las deficiencias de los sistemas escolares nacionales.

Consecuentemente, la meta de una formación de las generaciones de adultos jóvenes, para que se desenvuelvan con seguridad en la multiplicidad de actividades de la vida contemporánea, sigue siendo una expectativa problemática de alcance global, incluyendo el mundo desarrollado. Por ejemplo, en Estados Unidos (Barton y Kirsh, 1990) condujeron una extensa investigación del analfabetismo funcional en una muestra representativa de jóvenes adultos Norteamericanos. Estos investigadores, señalaron deficiencias formativas de la muestra en tres áreas de lectura:

a) alfabetización en prosa: lectura y comprensión de textos como artículos de prensa, b) alfabetización numérica: capacidad de efectuar operaciones numéricas simples a partir de información contenida en textos impresos como el menú de un restaurante, e) alfabetización documental: identificación y aprovechamiento de la información contenida en formularios, cuadros, gráficos e índices (Barton y Kirsh, 1990; en González Moreyra y Quesada Murillo (1997), p.1).
Una réplica del estudio en estudiantes universitarios y de secundaria en Lima Perú, mostró el mismo patrón, sólo que con resultados más dramáticos. Por ejemplo, los autores encontraron que el grupo de secundaria tenía una comprensión muy baja en todos los temas y el grupo universitario mostró, “comprensión deficiente en textos numéricos, científicos y humanísticos, todos ellos por debajo del nivel crítico. Es decir había analfabetismo funcional parcial en los textos clave, numérico y científico, para responder a las demandas de la revolución tecnológica científica de los años actuales” (op cit., p.5).
Por otra parte, algunos investigadores, identificaron errores didácticos concretos que ocurren frecuentemente en la enseñanza secundaria, pero que también se continúan repitiendo en las universidades. En este sentido, afirman, “Nuestros comentarios sobre la docencia de las matemáticas en cursos anteriores a la universidad se refieren no a sus contenidos, que pueden ser más o menos adecuados, sino a la manera de presentar dichos contenidos. Es decir, el escaso uso del lenguaje matemático en estas etapas de la docencia, sustituyéndolo por métodos quizás más pedagógicos pero menos científicos y, sobre todo, que se parecen poco a los que posteriormente se utilizan en estudios superiores” (Ortega Dato y Ortega Dato, 2002, p 16).
De manos de la comunidad académica y científica se ha tratado de explicar el fenómeno y se han presentado diferentes cuerpos de hipótesis, hallazgos y resultados parciales, así como diversidad de propuestas didácticas en busca de una solución efectiva para las debilidades en educación matemática, considerando como referente el error cometido en el trabajo matemático escolar (Kilpatrick, 2009; Franchi y Hernández, 2004; Recio y Rico, 2005; VillaOchoa et al, 2010).

Al respecto, desde una perspectiva general de cómo se produce el error en matemática, Astolfi (1999) razona una clasificación de los errores enfocada en sus causas; errores de instrucción de trabajo, de hábitos, de mala interpretación de las expectativas, de concepciones alternativas, de operaciones intelectuales, de sobrecarga cognitiva, de operaciones intelectuales, de reproducción de procesos, errores de transferencia disciplinar y errores de complejidad del contenido.

Dentro de la misma línea Brousseau (2001) presenta una tipología del error desde la perspectiva de los profesores, indicando que los docentes perciben los errores por niveles; prácticos o de cálculo, de tarea o de descuido, teórico o de conocimiento, tecnológico o de técnica, técnico o de operación.

En este sentido, Franchi y Hernández (2004) categorizan las fallas observadas y afirman que en los estudios de matemática universitaria los errores detectados son de diversa naturaleza; incluyendo conflictos de orden conceptual, procedimental e incluso deficiencias en habilidades básicas de pensamiento. Al respecto señalan que, “Muchos de los errores que cometen los estudiantes de geometría involucran a su vez errores derivados del mal uso del álgebra de bachillerato, del desconocimiento de las nociones geométricas básicas, y algunos otros se derivan de la resistencia a utilizar el razonamiento lógico básico para demostrar proposiciones en geometría.” (p. 66).

Por su parte, Rico y Recio (2005) hacen un estudio minucioso sobre la significación y clasificación del error en educación matemático y categorizan la acción de los investigadores en cuatro polos de indagación: análisis causa y clasificación de errores, tratamiento curricular de los errores, errores y la formación del profesorado y técnicas de análisis de los errores. Orozco y Labrador (2007) conjeturan que los errores y las dificultades no resueltas en los salones de clase conducen a concepciones incorrectas de lo matemático, con el agravante que estos aprendizajes erróneos y las concepciones matemáticas anómalas serán multiplicadas, difundidas y dispersadas en el caso de los profesores de matemática en formación. Los autores expresan que el error más común del aprendizaje matemático es debido al deficiente aprendizaje previo aunado al escaso manejo de destrezas matemáticas elementales.

También, VillaOchoa et al. (2010), reportan que las fallas de formación numérica provienen de un desfase entre las capacidades matemáticas adquiridas por los estudiantes y las exigencias de modelación de la realidad para la resolución de problemas por parte del sistema educativo. Este desfase parece propiciado, desde la práctica de aula, debido a una exigua relación establecida entre las matemáticas y los contextos reales por parte de los profesores. Al respecto de la descontextualización, se interpreta que las aplicaciones de la matemática a la realidad son muy complejas, mas allá de la matemática de la cual dispone el estudiante y en consecuencia ni el mismo profesor puede contextualizar, dar “sentido de realidad” eficiente a los contenidos que pretende enseñar. Los autores sugieren formación defectuosa en procesos de pensamiento, percepciones, formalismo, lenguaje procedimientos y conceptos.

Reflexiones Finales
La realidad de la educación matemática en la actualidad está marcada por una brecha entre las concepciones de la disciplina por parte del ciudadano común, del ciudadano profesional y del ciudadano científico. Luego se hace necesaria una matemática educativa para una nueva generación de aprendices, de medios y de maneras de formación e información; en una interacción educativa en donde hasta la escuela y la familia han visto debilitarse sus roles de transmisión de cultura y valores. Además, la sociedad reclama una matemática por niveles de dificultad para nuevos significados y expectativas de “ciudadano informado matemáticamente”, “ciudadano educado matemáticamente” y “ciudadano experto en matemática” muy diferentes a las definición de la matemática única para todo y todos de hace tan solo 30 años.
Según la reflexión realizada en el marco de esta investigación, se requiere una nueva matemática para un nuevo sistema de información en una circunstancia donde lo global se impone sobre lo regional y lo local. Una realidad con tres niveles matemáticos: La matemática ciudadana, la matemática académica y la matemática científica. En el primer nivel, el contenido numérico aumenta en cantidad y diversidad mientras se trivializa y se hace formalmente menos riguroso, pero más transitorio y cotidiano; es una matemática utilitaria para todos. En el segundo nivel, la matemática del ciudadano educado exige recobrar la formalidad y mediante la contextualización mejorar la comprensión y el potencial como herramienta indispensable en la prosecución educativa en la universidad y en la aplicación laboral profesional. Mientras que en el tercer nivel la matemática se convierte en lenguaje objeto y metalenguaje simultáneamente para moldearse como ciencia propia con potencial de creación de mas matemática y de descifrar los fenómenos complejos.
En contraposición al requerimiento social, la mayoría de estudiantes y docentes universitarios se ocupan de una práctica repetitiva de ejercicios modelo descontextualizados que en nada contribuyen al análisis y al desarrollo de habilidades superiores de razonamiento matemático, ni para el éxito profesional o científico de los estudiantes universitarios. Con ello se incrementa las posibilidades de aprendizaje errado y se desperdicia el potencial de modelación, representación y simulación de fenómenos de toda naturaleza que provee una buena formación matemática, y aun más, se reduce las posibilidades de crear conocimiento en la disciplina y se minimizan las oportunidades de generar tecnología nacional.

En resumen, diferentes reportes de investigación señalan diversidad de errores que conducen y son debidos a una concepción errónea de lo matemática por parte de estudiantes y docentes. Los primeros, perciben la matemática como procedimientos aislados e independientes de la teoría y en consecuencia intentan aprender operaciones y algoritmos mecanizados sin relación contextual, sin fundamentación lógica, sin atender la formalización del contenido y sin interés en la comprensión de los conceptos. La anomalía conceptual se produce porque tiene una visión matemática utilitaria a nivel de ciudadano común que requiere una matemática para estar informado, sobrestimando sus competencias y subestimando el nivel de rigor de la matemática de nivel académico.

Por su parte, los docentes, con una visión sobreestimada de la matemática tienen expectativas de formar ciudadanos matemáticos expertos, mientras intentan facilitar el aprendizaje creando caminos artificiales y atajos que terminan siendo procedimientos particulares propulsores de la memorización y la mecanización sin el razonamiento, nivel y rigor que se requiere de un aspirante a ciudadano educado matemáticamente. Pareciera entonces que toda tipología de error terminaría siendo explicada por la generalización anómala del significado de la naturaleza y aplicación del saber matemático.

Así, ambos, estudiantes y docentes, se alejan de la concepción clásica de la matemática como ciencia formal, de la concepción moderna de la matemática como lenguaje y de la perspectiva pragmática de la matemática utilitaria como herramienta para la solución de problemas científicos, académicos, contextuales y cotidianos de la sociedad tecnológica actual. En consecuencia, mientras los docentes universitarios, muchos de ellos en el nivel de “expertos matemáticos”, asumen que sus exposiciones son comprendidas por sus estudiantes a nivel de “ciudadano formado matemáticamente”; sus discípulos perciben el saber académico como “información matemática” para la vida cotidiana. Así, los estudiantes universitarios tienden a adoptar irrenunciablemente una concepción anómala de aprendizaje matemático dirigido a aplicar indiscriminadamente los operadores y los procedimientos en todo tipo de ejercicios y problemas, rompiendo el rigor y la precisión de la matemática como lenguaje y menospreciando la comprensión conceptual, los procesos de análisis, sin lograr la analogía y la trasferencia necesaria a su nivel de formación.

Finalmente, se ha de concluir que la concepción matemática defectuosa del estudiante que recién ingresa a la universidad está constituida por lagunas conceptuales, razonamiento lógicos erróneos, procedimientos y procesos equívocos recurrentes que en su integración coadyuvan a construir una desviación individual del significado de la disciplina, de su utilidad y de su importancia personal y social no acorde con las metas de su formación profesional universitaria. Esta anomalía enraizada en el repertorio cognitivo, fortalecida en los estudios preuniversitarios, sobrestima el conocimiento del estudiante, subestima las expectativas académicas universitarias y se caracteriza por ser exclusivamente operacional y algorítmica, con baja comprensión, mínima racionalización del rigor y poca fluidez en la formalización, con lo cual se multiplican las fuentes de error y consecuentemente se afecta el desempeño académico en las asignaturas de naturaleza numérica.


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