"comprehendere scire est"

Welcome divider

Consejo Nacional para el Entendimiento Público de la Ciencia.

Matemáticas y Escher


Liz Ramiro Fernández + Licenciatura en Matemáticas, Universidad de las Américas Puebla;

Una de las aplicaciones más importantes que han tenido las matemáticas que se ha estado dando desde hace mucho tiempo es el arte. Muchas personas no se imaginan que las matemáticas se encuentran en todos lados y mucho menos en el arte, pero de acuerdo a las obras artísticas que datan desde la época prehispánica la matemática ha estado presente.

Es importante mencionar que me refiero al arte a todo lo que tiene que ver con música, pintura, literatura, etc., pero en momento me enfocaré en la pintura en especial con el famoso artista Maurits Cornelius Escher.

Escher nació en 1898 en Leeuwarden (Países Bajos), estudió arquitectura en la Escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem, abandonó la universidad para pasar como discípulo de un profesor de artes gráficas, Adquirió unos buenos conocimientos básicos de dibujo, y destacó sobremanera en la técnica de grabado en madera, la cual llegó a dominar con gran perfección. Entre 1922 y 1935 se traslada a Italia donde realiza diversos bocetos y grabados principalmente de temas paisajísticos. viaja a España, y en particular a Granada. Visita dos veces la Alhambra, la segunda vez de forma más detenida, copiando numerosos motivos ornamentales.

En 1941 se muda a Baarn (Países Bajos), abandona los motivos paisajísticos como modelos y se centra más en su propia mente, encontrando en ella una potentísima fuente de inspiración. Quizás por ello en este período su producción sea tan fructífera y regular, y sólo se verá interrumpida por la operación que sufrió en 1962, consecuencia de su debilitada salud. En 1969 con 71 años realiza su grabado "Serpientes" donde demuestra sus facultades a pesar de su avanzada edad. En 1970 se traslada a la Casa Rosa Spier de Laren, al norte de Holanda, donde los artistas podían tener estudio propio. En esa ciudad fallece dos años más tarde, en 1972.

Las obras más reconocidas de Escher se dieron en su estancia en Baarn, en donde aparecen motivos matemáticos, los motivos matemáticos que se dan son las particiones regulares de la superficie, el espacio infinito (concepto de límite), círculos y espirales tridimensionales, reflexiones, inversiones, poliedros, conflicto entre la superficie plana y el espacio tridimensional, arquitectura imposible, también hay conceptos físico como la relatividad entre otros.


En la obra Cielo e infierno (1960) (ver Figura 1), que es una xilografía, copia de dos planchas, con un diámetro de 42 cm, se puede encontrar el concepto de particiones regulares de la superficie en cual la obra se compone de ángeles y demonios, en donde toda la superficie de la obra esta totalmente cubierta de éstas figuras que están colocadas geométricamente de tal forma que no se deja espacio en blanco, pero también se puede notar que también tiene el concepto de límite circular, ya que las figuras empiezan desde más grandes en el centro y conforme se van acercando a la orilla del círculo se van haciendo más chicas dando a entender que las figuras no se acaban, tienden a ser infinitas.

Podemos encontrar el concepto de espacio infinito en la litografía Partición cúbica del espacio (1925), porque se tiene que hay unas travesañas que se cortan en ángulo recto, se dividen mutuamente en piezas de la misma longitud, formando en cada caso la arista de un cubo. De esta manera se puede llenar el espacio hasta el infinito con cubos iguales.También una de las obras que más me impresionó fue la obra de Cinta de banda de Moebius II (1963), en donde se tienen hormigas caminando en una banda de Möbius, una banda de Möbius es un concepto que viene de la topología, que es una rama de las matemáticas que se dedica a estudiar las propiedades que se conservan al deformar, torcer y estirar los objetos, por ejemplo en la topología es lo mismo un triángulo que un círculo, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar.

Entonces una banda de Möbius es un objeto que tiene una sola cara y no es orientable. Para construirla se parte de una cinta cerrada de dos caras, se hace un corte, se gira uno de los extremos y se vuelve a pegar. La banda resultante tiene sólo un borde y una sola cara, lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, por ejemplo, y notando que se alcanza el punto opuesto sin haber atravesado la superficie; así mismo, si se trata de pintar un lado de un color y el opuesto de otro, se llegará al momento en que los dos colores choquen. Si se parte con una diada de ejes perpendiculares, y se desplaza paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida.

Otro de los conceptos que podemos encontrar dentro de las obras de Escher es la geometría fractal, es una de las geometrías no euclidianas más recientes la cual estudia los factales, los fractales son figuras que se caracterizan por tener detalles en escalas arbitrariamente grandes o pequeñas, son demasiado irregulares para ser descritos en términos geométricos tradicionales, tienen auto-similitud exacta, su dimensión puede se fraccionaria, son definidos por recursividad, un ejemplo que se puede dar es el copo de nieve de Koch.
En la obra Gota de rocío (1948) (ver Figura 6) con la técnica media tinta, se puede observar que en la hoja hay una gota la cual actúa como lupa, con la cual se puede distinguir que los vasos de la hoja son similares a las venas de la hoja, esta similitud nos lleva a pensar en los fractales.

Las obras mencionadas son sólo algunos de los ejemplos en donde se puede encontrar matemáticas, pero no solo en las obras de Escher se puede encontrar, si no también en las obras de Piccaso, Leonardo Da Vinci, Dalí, Jackson Pollock y muchosotros artistas.


Cómo citar este artículo ISO690.
Portada Aleph-Zero

Aleph-Zero No. 45


Revista de Educación y Divulgación de la Ciencia, Tecnología e Innovación

Richard Rorty; El pragmatismo y la filosofía como genero literario. In memoriam R. Rorty [1931-2007] .

Biografía. Dr. Adolfo Vásquez Rocca + Pontificia Universidad Católica De Valparaíso.

Cuentos sobre agua .

Cuento. Marisa Avogadro +.

Au revoir! Jean-Claude .

Divulgadores. Tania Papaqui + Benemérita Universidad Autónoma De Puebla.

Matemáticas y Escher .

Divulgadores. Liz Ramiro Fernández + Licenciatura en Matemáticas, Universidad de las Américas Puebla;.

Una vida sin recuerdos .

Divulgadores. .

Modelado de sistemas en tiempo real utilizando redes de petri .

Divulgadores. José De Jesús Medel Juárez + Centro De Investigación En Computación - Ipn; Pedro Guevara López + Dirección De Recursos Humanos – Ipn; Víctor Manuel Suárez Quezada + Centro De Investigación En Ciencia Aplicada Y Tecnología Avanzada – Ipn.

Telecontrol sobre TCP/IP .

Divulgadores. Alejandro Israel Barranco Gutiérrez + Centro De Investigación En Ciencia Aplicada Y Tecnología Avanzada, I. P. N; José De Jesús Medel Juárez + Centro De Investigación En Computación, Instituto Politécnico Nacional; Daniel Sánchez Guzmán + Centro De Investigación En Ciencia Aplicada Y Tecnología Avanzada, I. P. N.

Pseudociencia revelada: El secreto y la ley de la atracción .

Divulgadores. Liza Danielle Kelly Gutiérrez + ; Luis Javier Plata Rosas + .

La contaminación con metales, la salud y las estrategias preventivas, ¿qué hacemos para evitarla? .

Divulgadores. Teresa De Jesús Palacios Hernández + Universidad De Las Américas Puebla.

No divulgarás (45. julio -septiembre, 2007) .

Editorial. Miguel A. Méndez-Rojas + Universidad de las Américas, Puebla.

Estimulacion motriz para mejorar la adquisicion de la lecto-escritura .

Educadores. Lic. Lorenzo Alva Frías + ; Lic. Erika Andrade Ballesteros + ; Lic. Delia Banda Correa + ; M.c. Gustavo López Badilla + Universidad Estatal De Estudios Pedagógicos(ueep), .

Integración y marginacion dos grandes luchas de las organizaciones indígenas .

Gobernanza. Katherine Gómez Parra + Alumna De La Carrera De Trabajo Social Universidad De La Frontera.

Determinación de la biomasa zooplanctonica durante un ciclo diurno en la laguna de Barra de Navidad, Jalisco. .

Investigación. Ramiro Flores Vargas + Departamento De Estudios Para El Desarrollo Sustentable De Zonas Costeras Centro Universitario De La Costa Sur, Universidad De Guadalajara (udg-ca-341); José Ángel Hinojosa Larios + Departamento De Estudios Para El Desarrollo Sustentable De Zonas Costeras Centro Universitario De La Costa Sur, Universidad De Guadalajara (udg-ca-341); María Del Carmen Navarro Rodríguez + Departamento De Ciencias Médicas Y Biológicas, Centro Universitario De La Costa, Universidad De Guadalajara (udg-ca-345), Puerto Vallarta, Jalisco; Luis Fernando González Guevara + .

A la memoria de Federico Ferro Gay .

Kultur@leph. Carlos Macias Esparza + .

Data warehouse, análisis de datos no estructurados .

Tecnólogos. Dr. Sócrates Torres Ovalle + Universidad Autónoma De Coahuila; I. Alma Jovita Domínguez Lugo + Universidad Autónoma De Coahuila.