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Consejo Nacional para el Entendimiento Público de la Ciencia.

Orden en el caos


G. A. Luna Acosta ; J. A. Méndez Bermúdez

Si el caos es sinónimo de desorden, ¿cómo es posible que pueda haber orden en el caos? ¿No son el orden y el caos mutuamente exclusivos?

En este breve artículo se argumentará que sí existe orden en el caos, solo que el orden al que nos referimos no es un orden de patrones regulares y el caos que trataremos es un caos determinista. Tal parece entonces que simplemente estamos cambiando el significado a las palabras caos y orden para eliminar de manera artificial una verdadera contradicción entre los dos conceptos. En realidad, no se trata de cambiar sino de afinar el concepto de caos y generalizar la idea de desorden. El uso coloquial de caos es sinónimo de desorden en frases tales como, "tu cuarto es un caos" o "mi vida es un caos". Otras frases, como "el tráfico es un caos" o "la situación política es caótica", implican la asociación de caos con comportamientos muy complicados e impredecibles que son resultado de interacciones complejas. El caos determinista comparte con estas apreciaciones la idea de comportamiento complicado e impredecible, pero no como resultado de interacciones muy complicadas o aleatorias. Los sistemas caóticos deterministas también dan la apariencia de desorden, pero detrás de este desorden aparente está una dinámica inambigua, no azarosa. De aquí el concepto de caos determinista, es decir, el caos que resulta aún cuando las reglas que rigen el comportamiento del sistema están claramente especificadas y no haya aleatoriedad alguna. El caos determinista aparece no solo en sistemas físicos, químicos, o biológicos, sino también en muchos otros campos, por ejemplo, la economía, la fisiología, la psiquiatría y la bolsa de valores.

Para analizar este tipo de sistemas se ha desarrollado la teoría del caos, la cual es considerada una de las tres revoluciones científicas del siglo XX. La primera y la segunda respectivamente, son la teoría cuántica y la teoría de la relatividad. En cada una se destruyeron paradigmas para dar lugar a nuevas formas de razonamiento que permitieron un mejor entendimiento de la naturaleza. En la teoría del caos, el status quo suponía que el comportamiento complejo tenía su origen necesariamente en interacciones complicadas y/o de muchos cuerpos y, además, que sistemas sencillos producirían comportamiento simple y predecible. La lección principal de la teoría del caos, desarrollada fuertemente durante los últimos 30 años, es que bajo ciertas condiciones, sistemas simples también pueden producir dinámica con comportamiento caótico [1]. Se ha demostrado que el responsable del comportamiento caótico en sistemas dinámicos deterministas es la gran sensibilidad a la condiciones iniciales. Para apreciar esto, presentaremos dos modelos caóticos representativos.

El primero representa la evolución temporal de la población anual de algunos insectos. Denotemos por Xn la población de insectos en el enésimo año e imaginemos que todos nacen, e.g., en la primavera; después, crecen, se reproducen y mueren. Suponiendo que las condiciones anuales no cambian (la misma temperatura, la misma cantidad de predadores, etc), la población en el año siguiente Xn+1 queda determinada de forma única por la población del año anterior. Si cada insecto pone R huevos, entonces para el siguiente año la población será R veces la anterior, Xn+1=Xn. Esto daría como consecuencia un aumento exponencial de la población, sin límite. Sin embargo, considerando que al aumentar en demasía la población, la comida empezará a escasear y por lo tanto algunos insectos morirán antes de poder procrear, el número de huevos producidos será inferior a R. El modelo más simple que considera este factor supone que el número de huevos producidos decrece linealmente con la población, lo cual resulta en la fórmula Xn+1=RXn(1-Xn). Esta fórmula o mapeo se conoce como el mapeo Logístico [2] y también sirve para modelar muchos otros sistemas. Como se puede ver, es bien sencilla y no contiene elementos de aleatoriedad, es decir su dinámica es determinista. La población al año n queda totalmente determinada por la población anterior y el parámetro R, que se supone constante para cada colonia de insectos. Entonces, si conocemos la población inicial X0 el mapeo nos permite determinar la población en el año 1, X1, por simple substitución en el mapeo Logístico. Después, substituimos X1 en la misma fórmula para encontrar X2 y así, sucesivamente, hasta determinar la población en el año que deseemos. La sucesión X0, X1, X2, ..., Xn representa la dinámica del sistema, la cual es determinista. Dependiendo del parámetro R la dinámica poblacional puede ser regular o extremadamente complicada, como se manifiesta en la Figura 1, que grafica la población como función de R.


FIG. 1 Población Xn como función del parámetro R para el mapeo Logístico.

Es claro que para valores de R menores a 3 la población se mantiene constante año con año; para R entre 3 y 3.45 la población alterna anualmente entre dos valores (período 2); y para R alrededor de 3.5 la población oscila entre cuatro valores (período 4). Al seguir aumentando R el período se duplica sucesivamente (período 8, 16, 32, etc..), es decir, la dinámica es periódica. Es importante señalar que para estos valores de R la población final es independiente de la población inicial lo cual permite predecir. Sin embargo, para valores de R mayores 3.57 el período es infinito, lo que implica que tenemos que esperar un tiempo infinito para que se repita la misma población. En estas condiciones no periódicas, la población en un año dado dependerá sensiblemente de la población inicial y se dice que la dinámica es caótica. Para demostrar analíticamente la gran dependencia a las condiciones iniciales del mapeo logístico (especializado al valor R=4) conviene transformarlo al mapeo Yn+1=2Yn utilizando X=sen2Y. La solución de este nuevo mapeo es Yn=2nY0. Entonces si la condición Y0 evoluciona a Yn, la condición inicial Y0=Y0+e, evolucionará a Yn'=Yn+e2n. Por lo tanto, aún cuando la diferencia entre dos poblaciones iniciales sea tan pequeña como se quiera, eventualmente, la población final será totalmente diferente. Esta gran sensibilidad a las condiciones iniciales nos prohíbe predecir la evolución del sistema aún cuando éste sea determinista.

Es precisamente la sensibilidad a las condiciones iniciales el ingrediente principal del caos determinista y la responsable de una gran riqueza dinámica. Para ejemplificar esto utilizaremos el segundo modelo [3], representado por otro mapeo sencillo (que por razones de espacio no definiremos) cuya descripción requiere de dos variables U y V, donde Un y Vn son sus valores a tiempo n. La Figura 2 es un gráfica de Un contra Vn para n desde 1 hasta 200,000 tomando como condición inicial el punto (U0,V0)=(20,50), mientras que en la gráfica de la Figura 3 se utilizó la condición inicial (U0,V0)=(20.000000001,50).


FIG. 2 Los primeros 200,000 puntos generados por el mapeo (Un,Vn) al utilizar la condición inicial (U0,V0)=(20,50). Los colores indican evolución temporal en el siguiente orden: violeta, azul cielo, rojo, verde, amarillo y azul.


FIG. 3 Los primeros 200,000 puntos generados por el mapeo (Un,Vn) al utilizar la condición inicial (U0,V0)=(20.000000001,50). Los colores indican evolución temporal en el siguiente orden: violeta, azul cielo, rojo, verde, amarillo y azul.

Comparando estas dos figuras se puede apreciar que un pequeñísimo cambio en las condiciones iniciales produce estructuras completamente diferentes, además de complejas. Esto implica que si hay una pequeña incertidumbre o imprecisión e en las condiciones iniciales NO podemos predecir la estructura que se obtendrá al hacer evolucionar el sistema. Si no supiéramos que hay una regla u orden bien determinado para este sistema, podríamos pensar que su comportamiento caótico es debido a elementos de aleatoriedad no considerados en la dinámica. Puesto que cada vez que se calcule la dinámica caótica de un sistema determinista con exactamente las mismas condiciones iniciales se obtiene el mismo resultado y con una estructura bien definida, podemos afirmar que sí existe un orden pero éste no es del tipo periódico o regular al que estamos acostumbrados.


Fuentes.
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