Evaluar la obra matemática de Russell resulta una tarea un tanto subjetiva, prematura y demanda niveles de conocimiento interdisciplinarios profundos.
Pero describir estos problemas y expicarlos, tocando algunos temas relevantes de su obra, aún cuando anecdódito e incompleto resulta instructivo y a ello dedicaré mi ponencia.
Resulta subjetiva, pues haciéndome eco de James Newman puedo afirmar que "como tantas otras personas de mi generación he aprendido tanto de Russell que no puedo, tanto por concordancia como por discordancia, adquirir la objetividad necesaria".
Resulta prematura, pues el mismo Russell en fecha reciente en su libro
"La evoución de mi pensamiento filosófico" afirma:
"Considero que la aritmética es desde el punto de vista matemático mi contribución más importante a la obra y continúa: Lamento que la teoría aritmética de las relaciones haya permanecido ignorada por tanto tiempo". Es de sospecharse que la anterior afirmación sea acertada y que aún quedan en Prencipia Matemática una obra, tantas veces citada, tan pocas veces consultada y rara vez leída y estudiada, técnicas matemáticas y resultados profundos y valiosos que aún no se aprovechan y asimilan.
Resultado delicado y comprometedor pues Russell trabaja constantemente sobre temas de fronteras interdisciplinarias, y basado en su confianza en
que Las matemáticas y la lógia son indistinguibles hace matemáticas especiales, hace lógica y aún filosofía y todo esto solo al trabajar sobre matemáticas.
Le he llamado matemáticas especiales. Veamos en que sentido es afirmación tal, y para ello debemos contemplar el panorama de diha disciplina en 1900.
En tal fecha confluía la información a la Facultad de Ciencias de París, la cual por ello podemos ver como el centro mundial, y en la cual Poincaré, aún ocupando la cátedra de Astronomía, era ya el más notable de sus coetáneos y afirmaba en el Congreso Mundial de 1900, -después de una extensa crítica de la lógica por la que sentía aversión-: "En el Análisis (matemático) de hoy en día si nos tomamos la molestia de ser rigurosos lo único que nos puede engañarson silogismos o llamamientos a la intuición del número puro. Hoy día (1900) podemos decir que se ha alcanzado el rigor absoluto."
En dicho congreso David Hilbert de la Universidad de Gotinga lantearía los veintitrés problemas futuros de las matemáticas que han influenciado profundamente a los matemáticos de la primera mitad del siglo, y afirma a su programa para demostrar que los axiomas (de matemáticas) no son contradictorios; o sea demostrar que basándose en dichos axiomas no se puede llegar a contradicciones.
Otros asistentes y ponentes: Drach, Liendelof, Podua, Zeuthen, Hermite, Lindeman, Mitag-Leffer, Volterra, bendixson, Minkowski, Whiticheed, Darboux, Cortan, Niewayalawski, Hadamard, manuel Stampa y Peano.
Ambas afirmaciones han resultado ser ilusorias coincidiendo casi con dicha fecha (Russell que llama a dicho año: "el más importante de mi vida intelectual"), Russell quien asiste al Congreso Mundial de Filosofía en París, en el cual le impresiona el hecho de que en todas las discuciones Peano y sus discípulos tenían una presición de la que otros carecían. Russell dice. "le pedí que me diese sus obras, cosa que afortunadamente hizo". Basándose en él, desarrolla su trabajo sobre relaciones, series, cardinales y ordinales y el intento de reducir la aritmética a la lógica.
Frege había hecho gran parte de este trabajo; pero en esa fecha Whitehead y él lo ignoraban.
En 1901 encuentran la paradoja sobre las clases que no son miembro de ellos mismos; le escribe Frege quien sient demolida la obra de su vida. Trabajan cuatro años más sin poder hacer ningún progreso debido a las contradicciones, antinomios y paradojas que llevaban o se obtenían de laso bras de Frege, Peano y Cantor.
Y solo en 1905 encuentra que un problema diferente le sugiere una nueva técnica y se lanza a probar que la lógica y las matemáticas son una sola disciplina. Dicho trabajo culmina con la publicación de los tres tomos de
Principia.
Esta tesis de que la lógica y las matemáticas son una sola disciplina la mantiene aún en Introduction to
Mathematical Philosophy, escrita, al menos parcialmente, en la cárcel, ya que como otros hombres de genio y carácter, también Russell padeció las injusticias y arbitrariedades de un régimen.
Por cierto que el argumento que usa Russell en Introduction to Mathematical Philosophy para defender su tesis es débil: "Si aún existe alguno que no admita la identidad de la lógica y las matemáticas, podemos retarlo a qe nos indique en que punto en las definiciones sucesivas y deduccones en Principia ellos consideran que termina la lógica y se inician las matemáticas. Será obvio entonces que cualquier respuesta debe ser arbitraria".
Aquí Russell olvida que dicha área común existe entre todas las disciplinas quién puede afirmar pues, donde empieza la Física y donde terminan las matemáticas; donde termina la Física y se inicia la Química; donde acaba ésta y se inicia la Biología.
Dicho sea de paso, el análisis de la teoría de conjuntos puede ayudar a resolver ciertos problemas de los llamados univrsales y aclarar la diversidad de opiniones entre nominalistas, plantonistas y conceptualistas. Pues sabemos, un platonista está convencido de que correspondiendo a cada proposición bien definida(monádica) existe siempre un conjunto o clase que comprenda todas las entidades que satisfacen la proposición y solo a ellos y que tal ocnjunto es una entidad por su propio derecho con un estado ontológico similar al de sus elementos.
Claro que no pretendo ni remotamente afirmar si son o no comunes, sólo indico que tienen intersección no vacía. Pero parece que estamos olvidando el punto que es de primera iportancia en la obra matemática de Russell. Aparte de la ya mencionada aritmética de las relaciones podemos indicar brevemente algunos aspectos notables.
El primero por su importancia actual es la vigorosacrítica y revisión que hace a las obras de Cantor, Frege y Peano, así como desarrollos sobre estos. Sus trabajos le permiten depurarlas, en gran parte, de contradicciones y con ello permite que la Teoría de Conjuntos ocupe el lugar preeminencia que le corresponde como antecedente natural de la Aritmética, la Topología y la Probabilidad.
Aparte de esta labor crítica, Russell encuentra que la axiomatización de las Matemáticas requiere del Axioma de Fundación y el Axioma Multiplicativo. Entonces, resumiendo, al analizar la obra de Russell en Matemáticas nos encontramos un profundo contraste. Por un lado un esudiante de Matemáticas, inclusive un investigador, puede pasar toda su vida estudiando intensamente Matemáticas sin encontrar explícitamente la obra de Russell, o si acaso, lo encuentra mencionado como el autor de una antinomia.
Por otra parte, Russell no ha dejado teoremas ni avances notables en las fronteras de lo desconocido, no es un innovador; es un crítico de la infraestructura, es un matemáticco que invade los abismos de la lógica y la filosofía (Simmons); pero si las matemáticas son básicamente conjuntos, relaciones, y funciones cual se piensa actualmente, toda la estructura de la matemática actual descansa en su ayuda por su análisis en Cantor.
Russell, hace matemática aplicada, pero aplicada especialmente a la lógica y a la filosofía y funda la metodología para la crítica permanente de las matemáticas.
Dice Göbdel, "aún Pincaré siempre opuesto a la lógica matemática, la cual primero llama estéril y después acepta. ya no es estéril, genera contradicción". Aún Poincaré aceptaría en la actualidad el fecundo desarrollo de la lógica matemática como prueba suficiente de su fecundidad.
Hay otros aspectos de Russell, profundos e interesantes como sua ctividad matemática y que o requiere técnica especial ni simbolismo; "Cuatro puntos de sus teorías son de tal importancia que ellos solos bastan para probar que es un hombre de suprema inteligencia; pero que critica libremente en todo lo que consedera inadecuado con tal intensidad, que un observador superficial puede cnsiderar esa crítica constante y casi obsesiva". Russell; el proceso; quien cambia de opinión sistemáticamente en problemas de filosofía quizás por su creciente madurez.
- Russell; el antitético -lo mismo dice de Marx.
- Russell; el analista lógico.
- Russell; el jóven viejo.
- Russell; el contemporáneo.
- Russell; el universitario, hasta pocos ías antes de su muerte.
Pero dejamos que estos temas los traten otros con mayor profundidad y conocimiento.
